OPERACIONES CON VECTORES

Cuando se suman o restan vectores, o al multiplicar y dividir un vector por un número, el resultado es siempre un vector. La suma de un punto y un vector determina otro punto. También se puede calcular la distancia entre dos puntos y el punto medio de un segmento.

SUMA

Para sumar dos vectores ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → y ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → , se toma uno de ellos, por ejemplo, ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → , y con origen en su extremo colocamos un vector equipolente a ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → .

La suma es el vector que tiene como origen el origen de ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → , y extremo, el extremo de ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → .

El vector resultante se denota ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → + v → .

Suma de dos vectores

En coordenadas, si el vector ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → = (u₁, u₂) y ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → = (v₁, v₂), el vector suma se calcula sumando coordenada a coordenada:

${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → + ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → = (u₁, u₂) + (v₁, v₂) = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)

RESTA

Resta de vectores

Para restar dos vectores ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → y ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → , se toman vectores equipolentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → , y el extremo, en el extremo de ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → .

El vector resultante se denota ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → - v → .

Resta de dos vectores

En coordenadas, si el vector ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → = (u₁, u₂) y ${\displaystyle \stackrel{}{v}}$ → = (v₁, v₂), el vector diferencia se calcula restando coordenada a coordenada:

${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ → - v → = (u₁, u₂) - (v₁, v₂) = (u₁ - v₁, u₂ - v₂)

VECTORES

Un vector fijo  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos de un vector

Dirección de un vector

La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector

El sentido del vector  es el que va desde el origen A al extremo B.

Módulo de un vector

 

El módulo del vector  es la longitud del segmento AB, se representa por .

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Módulo de un vector a partir de sus componentes

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

FUNCION CUADRATICA

1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. 
2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?
Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).
Si el área del camino ha de ser de 30 m² , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.
¿Para qué valor de x es A = 100?
Actividad resuelta

3. El director de un teatro estima que si cobra 30 €  por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.
   Observa la tabla:

   euros descuento	0	1	2	x
   Precio	30	30-1	30-2	30-x
   Nº espectadores	500	500+100.1	500+100.2	500+ 100x
   Ingresos	30.500	(30-1)·(500+100.1)	(30-2)·(500+100.2)	(30-x)·(500+100.x)

   Los ingresos obtenidos son
   
   siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

   Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

   Las funciones f(x) = x² + 6x,  g(x) = x²  + 16  y   G(x) = - 100 x² + 2500 x + 15000
   
   que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

METODO GRAFICO

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

FORMAS DE RESOLVER ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS

• Método de sustitución

  Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes  o .
  
  1. Despejamos la  de la primera ecuación: 
  2. Sustituimos en la otra ecuaciñon:
  3. Resolvemos la ecuacón resultante:
     
     
     
  4. Para averiguar el valor de  sustituimos el valor de  en la expresión obtenida el el paso 1
     
     

• Método de igualación

  
  1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones
     
     
  2. Igualamos las dos expresiones anteriores
     
  3. Resolvemos la ecuación resultante
     
     
     
  4. Para calcular el valor de x sustituimos  en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1
     

• Método de reducción

  Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.
  El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.
  
  1. Vamos a eliminar la . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
     
  2. Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda
     
     
  3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda
     
     
     

ECUACIONES

PRIMARIAS
una variable, generalmente llamada x. 

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.
Recuerda:
Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.
Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.

DEMOSTRACION DEL DOMINIO Y RANGO

FUNCION

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

EL RANGO

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que elrango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

el dominio

el dominio de una funcion

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) = ,

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.